与えられた積分を計算する問題です。 $\int \frac{\cos x}{(8+\sin x)^4} dx$ ここで、$u = \sin x$ と置換積分を行うように指示されています。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

$\int \frac{\cos x}{(8+\sin x)^4} dx$

ここで、$u = \sin x$ と置換積分を行うように指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$u = \sin x$ と置換します。このとき、

$\frac{du}{dx} = \cos x$

より、

$du = \cos x \, dx$

となります。

これを用いて、与えられた積分を $u$ の積分に変換します。

$\int \frac{\cos x}{(8+\sin x)^4} dx = \int \frac{1}{(8+u)^4} du$

ここで、$v = 8+u$ と置換します。このとき、

$\frac{dv}{du} = 1$

より、

$dv = du$

となります。

積分を $v$ の積分に変換すると、

$\int \frac{1}{(8+u)^4} du = \int \frac{1}{v^4} dv = \int v^{-4} dv$

$v^{-4}$ を積分すると、

$\int v^{-4} dv = \frac{v^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3v^3} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

次に、$v$ を $u$ に戻します。

$-\frac{1}{3v^3} + C = -\frac{1}{3(8+u)^3} + C$

最後に、$u$ を $x$ に戻します。

$-\frac{1}{3(8+u)^3} + C = -\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\cos x}{(8+\sin x)^4} dx = -\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$