$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} 2x}{\sin x}$ を計算する。

## 問題1 (1) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} 2x}{\sin x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1} 2x$ と $\sin x$ は $x \to 0$ のときどちらも 0 に近づくため、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} 2x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2x)}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$

$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} 2x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4x^2}}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{(1 + 4x^2)\cos x}$

$x \to 0$ のとき $1 + 4x^2 \to 1$ であり、$\cos x \to 1$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{2}{(1 + 4x^2)\cos x} = \frac{2}{1 \cdot 1} = 2$

3. 最終的な答え

2

## 問題1 (2) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$ を計算する。

2. 解き方の手順

$x \to 0$ のとき分子も分母も 0 に近づくため、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x + e^{-x} - 2)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)}$

$\frac{d}{dx}(e^x + e^{-x} - 2) = e^x - e^{-x}$

$\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

これも $x \to 0$ で分子も分母も 0 に近づくため、再度ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x})}{\frac{d}{dx}(\sin x)}$

$\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}$

$x \to 0$ のとき $e^x \to 1$ および $e^{-x} \to 1$ であり、$\cos x \to 1$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

3. 最終的な答え

2

## 問題1 (3) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \left( \tan x - \frac{1}{\cos x} \right)$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\tan x - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x}$

ここで $x \to \frac{\pi}{2} - 0$ とすると、分子は 0 に、分母も 0 に近づくため、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\sin x - 1}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cos x)}$

$\frac{d}{dx}(\sin x - 1) = \cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

よって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{-\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

0

## 問題1 (4) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

$y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ とおく。

$\ln y = \ln (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^2} \ln (\cos x) = \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

$\lim_{x\to 0} \ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$

$x \to 0$ のとき分子も分母も 0 に近づくため、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(\cos x))}{\frac{d}{dx}(x^2)}$

$\frac{d}{dx}(\ln(\cos x)) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\tan x}{2x} = -\frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{-\tan x}{2x} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

$\lim_{x\to 0} \ln y = -\frac{1}{2}$ より、

$\lim_{x\to 0} y = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{e}}$