与えられた積分 $\int \frac{3(\log x)^5}{x} dx$ を、$u = \log x$ という変数変換を用いて計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{3(\log x)^5}{x} dx$ を、$u = \log x$ という変数変換を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = \log x$ と置換します。このとき、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。したがって、元の積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{3(\log x)^5}{x} dx = \int 3u^5 du$

次に、この積分を計算します。

$\int 3u^5 du = 3 \int u^5 du = 3 \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{1}{2} u^6 + C$

最後に、$u = \log x$ を代入して元の変数に戻します。

$\frac{1}{2} u^6 + C = \frac{1}{2} (\log x)^6 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\log x)^6 + C$