$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の不等式を解きます。 (1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x < 1$ (2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、次の不等式を解きます。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x < 1$

(2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は次のようになります。

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) < 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

$t = x + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$ であり、$\sin t < \frac{1}{2}$ を解きます。

$\sin t = \frac{1}{2}$ となるのは $t = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$ の範囲で $\sin t < \frac{1}{2}$ となるのは

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{6}$ および $\frac{13\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{3}$ です。

$t = x + \frac{\pi}{3}$ を代入して、$x$ の範囲を求めます。

$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} \Rightarrow 0 \le x < \frac{\pi}{2}$

$\frac{13\pi}{6} < x + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3} \Rightarrow \frac{11\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{3}$

$\frac{11\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$ であり矛盾しています.

よって、

$\frac{13\pi}{6} < x + \frac{\pi}{3} < \frac{14\pi}{6}$ となるので、

$\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

したがって、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ および $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

(2)

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6})$

したがって、不等式は次のようになります。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = x - \frac{\pi}{6}$ とおくと、$- \frac{\pi}{6} \le t < \frac{11\pi}{6}$ であり、$\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解きます。

$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

$- \frac{\pi}{6} \le t < \frac{11\pi}{6}$ の範囲で $\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは

$-\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{4}$ および $\frac{3\pi}{4} \le t < \frac{11\pi}{6}$ です。

$t = x - \frac{\pi}{6}$ を代入して、$x$ の範囲を求めます。

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 \le x \le \frac{5\pi}{12}$

$\frac{3\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} \Rightarrow \frac{11\pi}{12} \le x < 2\pi$

したがって、$0 \le x \le \frac{5\pi}{12}$ および $\frac{11\pi}{12} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

(2) $0 \le x \le \frac{5\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12} \le x < 2\pi$