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(1) $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $\frac{3}{\cos\theta} - 4\sqrt{3} \sin\theta < 0$ が成り立つとき、$\tan\theta$ の値の範囲と、$\theta$ の範囲を求める。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2x > \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を求める。

解析学三角関数不等式三角関数の合成三角関数の解法
2025/7/5

1. 問題の内容

(1) 0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} のとき、不等式 3cos⁡θ−43sin⁡θ<0\frac{3}{\cos\theta} - 4\sqrt{3} \sin\theta < 0 が成り立つとき、tan⁡θ\tan\theta の値の範囲と、θ\theta の範囲を求める。
(2) 0≤x<2π0 \le x < 2\pi のとき、不等式 sin⁡2x>cos⁡x\sin 2x > \cos x を満たす xx の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、与えられた不等式を整理する。
3cos⁡θ−43sin⁡θ<0\frac{3}{\cos\theta} - 4\sqrt{3} \sin\theta < 0
3cos⁡θ<43sin⁡θ\frac{3}{\cos\theta} < 4\sqrt{3} \sin\theta
3<43sin⁡θcos⁡θ3 < 4\sqrt{3} \sin\theta \cos\theta
3<23(2sin⁡θcos⁡θ)3 < 2\sqrt{3} (2 \sin\theta \cos\theta)
3<23sin⁡2θ3 < 2\sqrt{3} \sin 2\theta
sin⁡2θ>323=32\sin 2\theta > \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
ここで、0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} より、0≤2θ<π0 \le 2\theta < \pi である。
したがって、sin⁡2θ=32\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} を満たす 2θ2\theta は π3\frac{\pi}{3} と 2π3\frac{2\pi}{3} である。
よって、π3<2θ<2π3\frac{\pi}{3} < 2\theta < \frac{2\pi}{3}
π6<θ<π3\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}
tan⁡θ\tan\theta について考えると、θ\theta が π6<θ<π3\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3} の範囲にあるとき、
tan⁡π6<tan⁡θ<tan⁡π3\tan\frac{\pi}{6} < \tan\theta < \tan\frac{\pi}{3}
13<tan⁡θ<3\frac{1}{\sqrt{3}} < \tan\theta < \sqrt{3}
(2)
sin⁡2x>cos⁡x\sin 2x > \cos x
2sin⁡xcos⁡x>cos⁡x2 \sin x \cos x > \cos x
2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x>02 \sin x \cos x - \cos x > 0
cos⁡x(2sin⁡x−1)>0\cos x (2 \sin x - 1) > 0
この不等式が成り立つのは、
(i) cos⁡x>0\cos x > 0 かつ 2sin⁡x−1>02 \sin x - 1 > 0
(ii) cos⁡x<0\cos x < 0 かつ 2sin⁡x−1<02 \sin x - 1 < 0
(i) cos⁡x>0\cos x > 0 かつ sin⁡x>12\sin x > \frac{1}{2}
cos⁡x>0\cos x > 0 を満たす xx の範囲は、0≤x<π20 \le x < \frac{\pi}{2} または 3π2<x<2π\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi
sin⁡x>12\sin x > \frac{1}{2} を満たす xx の範囲は、π6<x<5π6\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}
したがって、π6<x<π2\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}
(ii) cos⁡x<0\cos x < 0 かつ sin⁡x<12\sin x < \frac{1}{2}
cos⁡x<0\cos x < 0 を満たす xx の範囲は、π2<x<3π2\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}
sin⁡x<12\sin x < \frac{1}{2} を満たす xx の範囲は、0≤x<π60 \le x < \frac{\pi}{6} または 5π6<x<2π\frac{5\pi}{6} < x < 2\pi
したがって、π2<x<5π6\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6} および 5π6<x<3π2\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}
よって、(i)と(ii)を合わせると、
π6<x<π2\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} または π2<x<5π6\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6} または 5π6<x<3π2\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}
これは、π6<x<5π6\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} および 5π6<x<3π2\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}

3. 最終的な答え

(1) tan⁡θ\tan\theta の値の範囲: 13<tan⁡θ<3\frac{1}{\sqrt{3}} < \tan\theta < \sqrt{3}
θ\theta の範囲: π6<θ<π3\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}
(2) xx の範囲: π6<x<5π6\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}, 5π6<x<3π2\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}

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