与えられた10個の関数の不定積分を計算します。

はい、承知いたしました。画像にある積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} dx$

$2x = \sin \theta$ と置換すると、$2dx = \cos \theta d\theta$ より、$dx = \frac{1}{2}\cos \theta d\theta$。

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cdot \frac{1}{2} \cos \theta d\theta = \int \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + C = \frac{1}{2} \arcsin (2x) + C$.

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

$x = 2\sin \theta$ と置換すると、$dx = 2\cos \theta d\theta$。

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2 \theta}} \cdot 2\cos \theta d\theta = \int \frac{1}{2\cos \theta} \cdot 2\cos \theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = \arcsin (\frac{x}{2}) + C$.

(3) $\int \frac{1}{1+4x^2} dx$

$2x = \tan \theta$ と置換すると、$2dx = \sec^2 \theta d\theta$ より、$dx = \frac{1}{2}\sec^2 \theta d\theta$。

よって、

$\int \frac{1}{1+4x^2} dx = \int \frac{1}{1+\tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2}\sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + C = \frac{1}{2} \arctan (2x) + C$.

(4) $\int \frac{1}{4+x^2} dx$

$\int \frac{1}{4+x^2} dx = \int \frac{1}{4(1+(\frac{x}{2})^2)} dx$

$\frac{x}{2} = \tan \theta$ と置換すると、$dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$。

よって、

$\int \frac{1}{4+x^2} dx = \int \frac{1}{4(1+\tan^2 \theta)} 2\sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \theta + C = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$.

(5) $\int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

よって、

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C$.

(6) $\int \frac{1}{x^2+4x+9} dx = \int \frac{1}{(x+2)^2+5} dx$

$x+2 = \sqrt{5}\tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{5}\sec^2 \theta d\theta$。

よって、

$\int \frac{1}{(x+2)^2+5} dx = \int \frac{1}{5\tan^2 \theta+5} \sqrt{5}\sec^2 \theta d\theta = \int \frac{1}{5\sec^2 \theta} \sqrt{5}\sec^2 \theta d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$.

(7) $\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$

$u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$。

よって、

$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx = \int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C = \arctan (e^x) + C$.

(8) $\int \sin^4 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

よって、

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{5} \sin^5 x + C$.

(9) $\int x^2 e^{-x^3} dx$

$u = -x^3$ と置換すると、$du = -3x^2 dx$ より、$x^2 dx = -\frac{1}{3} du$。

よって、

$\int x^2 e^{-x^3} dx = \int e^u (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} e^u + C = -\frac{1}{3} e^{-x^3} + C$.

(10) $\int \cos 2x \cos 3x dx$

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ を用いると、

$\cos 2x \cos 3x = \frac{1}{2}[\cos 5x + \cos(-x)] = \frac{1}{2}[\cos 5x + \cos x]$.

よって、

$\int \cos 2x \cos 3x dx = \frac{1}{2} \int (\cos 5x + \cos x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{5}\sin 5x + \sin x) + C = \frac{1}{10} \sin 5x + \frac{1}{2} \sin x + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \arcsin (2x) + C$

(2) $\arcsin (\frac{x}{2}) + C$

(3) $\frac{1}{2} \arctan (2x) + C$

(4) $\frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

(5) $\ln |\sin x| + C$

(6) $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan(\frac{x+2}{\sqrt{5}}) + C$

(7) $\arctan (e^x) + C$

(8) $\frac{1}{5} \sin^5 x + C$

(9) $-\frac{1}{3} e^{-x^3} + C$

(10) $\frac{1}{10} \sin 5x + \frac{1}{2} \sin x + C$