$0 \le x < 2\pi$ のとき、以下の2つの不等式を解く問題です。 (1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x < 1$ (2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{2}$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、以下の2つの不等式を解く問題です。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x < 1$

(2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x \le \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

(1)

合成関数を用いて解きます。

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

よって、不等式は次のようになります。

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) < 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

ここで、$t = x + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$ となります。

$\sin t < \frac{1}{2}$ を解くと、

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6} < t < \frac{7\pi}{3}$

$x + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ より $x < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} > \frac{13\pi}{6}$ より $x > \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$

以上より、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

(2)

合成関数を用いて解きます。

$\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin(x - \frac{\pi}{6})$

よって、不等式は次のようになります。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

ここで、$t = x - \frac{\pi}{6}$ とおくと、$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le t < \frac{11\pi}{6}$ となります。

$\sin t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解くと、

$-\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4} \le t < \frac{11\pi}{6}$

$x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4}$ より $x \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$

$x - \frac{\pi}{6} \ge \frac{3\pi}{4}$ より $x \ge \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{12}$

以上より、$0 \le x \le \frac{5\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$

(2) $0 \le x \le \frac{5\pi}{12}$, $\frac{11\pi}{12} \le x < 2\pi$