次の極限値を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を適用します。まず、分子と分母が $x \to 0$ でどのように振る舞うかを確認します。

$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$ なので、$\sin x - \sin(\sin x) \to 0$ と $\sin x - x \to 0$ です。したがって、不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理が適用できます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$\frac{d}{dx} (\sin x - \sin(\sin x)) = \cos x - \cos(\sin x) \cos x = \cos x (1 - \cos(\sin x))$

分母の微分:

$\frac{d}{dx} (\sin x - x) = \cos x - 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin(\sin x)}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{\cos x - 1}$

再び、 $x \to 0$ とすると、$\frac{0}{0}$ の不定形です。再度ロピタルの定理を適用します。しかし、ここではテイラー展開を利用する方が容易です。

$x \approx 0$ において、以下の近似が成り立ちます。

$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$

したがって、

$1 - \cos(\sin x) \approx 1 - \cos(x - \frac{x^3}{6}) \approx 1 - (1 - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^2}{2}) \approx \frac{x^2}{2}$

$\cos x - 1 \approx -\frac{x^2}{2}$

$\cos x \approx 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x (1 - \cos(\sin x))}{\cos x - 1} \approx \lim_{x \to 0} \frac{1 \cdot \frac{(\sin x)^2}{2}}{-\frac{x^2}{2}} \approx \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-\frac{x^2}{2}} = -1$

3. 最終的な答え

-1