関数 $f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ ($a > 0, b \neq 0$) で表される曲線 $C$ が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。 (2) 曲線 $C$ 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。 (3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。 (4) 曲線 $C$ を図示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ ($a > 0, b \neq 0$) で表される曲線 $C$ が特異点を持つとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。

(2) 曲線 $C$ 上で、$y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求めます。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求めます。

(4) 曲線 $C$ を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 特異点を持つ条件を求める

曲線 $C$ が特異点を持つとき、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる点が存在します。

$f_x = 3x^2 - 3ay = 0$ より、$x^2 = ay$

$f_y = -3ax + 3y^2 = 0$ より、$y^2 = ax$

したがって、$x^4 = a^2 y^2 = a^3 x$

$x(x^3 - a^3) = 0$ より、$x = 0$ または $x = a$

$x = 0$ のとき、$y = 0$。

$x = a$ のとき、$y = a$。

$(x, y) = (0, 0)$ のとき、$f(0, 0) = 0 = b$ となりますが、$b \neq 0$ なので矛盾します。

$(x, y) = (a, a)$ のとき、$f(a, a) = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3 = b$。

したがって、$b = -a^3$ が条件です。

(2) $y = mx + n$ が恒等的に満たされる $m, n$ を求める

$f(x, mx+n) = x^3 - 3ax(mx+n) + (mx+n)^3 = b$

$x^3 - 3amx^2 - 3anx + (m^3 x^3 + 3m^2 n x^2 + 3mn^2 x + n^3) = b$

$(1 + m^3) x^3 + (-3am + 3m^2 n) x^2 + (-3an + 3mn^2) x + n^3 = b$

これが恒等的に成り立つには、$1 + m^3 = 0$, $-3am + 3m^2 n = 0$, $-3an + 3mn^2 = 0$, $n^3 = b$ が必要です。

$m = -1$ のとき、$-3a(-1) + 3(-1)^2 n = 0$ より $3a + 3n = 0$ なので $n = -a$。

また、$-3an + 3mn^2 = 0$ より $-3a(-a) + 3(-1)(-a)^2 = 3a^2 - 3a^2 = 0$ となり、成り立ちます。

$n^3 = (-a)^3 = -a^3 = b$ となり、これも成り立ちます。

したがって、$m = -1, n = -a$。

(3) $x^2 - xy + y^2 - ax - ay + a^2 = 0$ の解 $(x, y)$ を求める

$x^2 - (y+a)x + (y^2 - ay + a^2) = 0$

$x = \frac{y+a \pm \sqrt{(y+a)^2 - 4(y^2 - ay + a^2)}}{2} = \frac{y+a \pm \sqrt{y^2 + 2ay + a^2 - 4y^2 + 4ay - 4a^2}}{2} = \frac{y+a \pm \sqrt{-3y^2 + 6ay - 3a^2}}{2} = \frac{y+a \pm \sqrt{-3(y-a)^2}}{2}$

実数解を持つためには、$(y-a)^2 = 0$ である必要があり、$y = a$。

$x = \frac{a+a}{2} = a$。

したがって、$(x, y) = (a, a)$ が解です。

(4) 曲線 $C$ を図示する

$f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3 = b$ かつ $b = -a^3$ より、$x^3 - 3axy + y^3 = -a^3$。

$x+y+a = 0$ となる直線上に特異点が存在する。

3. 最終的な答え

(1) $b = -a^3$

(2) $m = -1, n = -a$

(3) $(x, y) = (a, a)$

(4) 曲線 $C$ は、$x^3 - 3axy + y^3 = -a^3$ であり、特異点は $(a, a)$。