与えられた関数について、ラプラス変換を計算する。関数は以下の通りである。 (1) $2t+1$ (2) $(2t+1)e^{-3t}$ (3) $(2t+1) \cos t$ (4) $t^2 + t$ (5) $(t^2 + t)e^{3t}$ (6) $(t^2+t) \sin t$

1. 問題の内容

与えられた関数について、ラプラス変換を計算する。関数は以下の通りである。

(1) $2t+1$

(2) $(2t+1)e^{-3t}$

(3) $(2t+1) \cos t$

(4) $t^2 + t$

(5) $(t^2 + t)e^{3t}$

(6) $(t^2+t) \sin t$

2. 解き方の手順

ラプラス変換の基本的な性質と公式を用いる。

* $\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$

* $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$

* $\mathcal{L}\{t^2\} = \frac{2}{s^3}$

* $\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a)$ (ただし $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ )

* $\mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}$

* $\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}$

* $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$

(1) $2t+1$ のラプラス変換

$\mathcal{L}\{2t+1\} = 2\mathcal{L}\{t\} + \mathcal{L}\{1\} = 2\left(\frac{1}{s^2}\right) + \frac{1}{s} = \frac{2}{s^2} + \frac{1}{s} = \frac{s+2}{s^2}$

(2) $(2t+1)e^{-3t}$ のラプラス変換

(1) の結果を利用して、シフト定理を用いる。

$\mathcal{L}\{(2t+1)e^{-3t}\} = \frac{(s+3)+2}{(s+3)^2} = \frac{s+5}{(s+3)^2}$

(3) $(2t+1) \cos t$ のラプラス変換

$\mathcal{L}\{(2t+1) \cos t\} = 2\mathcal{L}\{t \cos t\} + \mathcal{L}\{\cos t\}$

$\mathcal{L}\{\cos t\} = \frac{s}{s^2 + 1}$

$\mathcal{L}\{t \cos t\} = -\frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2+1} \right) = -\frac{(s^2+1) - s(2s)}{(s^2+1)^2} = \frac{s^2 - 1}{(s^2+1)^2}$

したがって、

$\mathcal{L}\{(2t+1) \cos t\} = 2\left(\frac{s^2 - 1}{(s^2+1)^2}\right) + \frac{s}{s^2+1} = \frac{2s^2 - 2 + s(s^2+1)}{(s^2+1)^2} = \frac{s^3 + 3s^2 + s - 2}{(s^2+1)^2}$

(4) $t^2 + t$ のラプラス変換

$\mathcal{L}\{t^2 + t\} = \mathcal{L}\{t^2\} + \mathcal{L}\{t\} = \frac{2}{s^3} + \frac{1}{s^2} = \frac{2+s}{s^3}$

(5) $(t^2 + t)e^{3t}$ のラプラス変換

(4) の結果を利用して、シフト定理を用いる。

$\mathcal{L}\{(t^2 + t)e^{3t}\} = \frac{2+(s-3)}{(s-3)^3} = \frac{s-1}{(s-3)^3}$

(6) $(t^2+t) \sin t$ のラプラス変換

$\mathcal{L}\{(t^2+t) \sin t\} = \mathcal{L}\{t^2 \sin t\} + \mathcal{L}\{t \sin t\}$

$\mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2 + 1}$

$\mathcal{L}\{t \sin t\} = - \frac{d}{ds}\left( \frac{1}{s^2+1} \right) = \frac{2s}{(s^2+1)^2}$

$\mathcal{L}\{t^2 \sin t\} = (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{1}{s^2+1} \right) = \frac{d}{ds}\left( \frac{2s}{(s^2+1)^2} \right) = \frac{2(s^2+1)^2 - 2s(2(s^2+1)2s)}{(s^2+1)^4} = \frac{2(s^2+1) - 8s^2}{(s^2+1)^3} = \frac{2 - 6s^2}{(s^2+1)^3}$

したがって、

$\mathcal{L}\{(t^2+t) \sin t\} = \frac{2-6s^2}{(s^2+1)^3} + \frac{2s}{(s^2+1)^2} = \frac{2-6s^2 + 2s(s^2+1)}{(s^2+1)^3} = \frac{2-6s^2 + 2s^3 + 2s}{(s^2+1)^3} = \frac{2s^3 - 6s^2 + 2s + 2}{(s^2+1)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{s+2}{s^2}$

(2) $\frac{s+5}{(s+3)^2}$

(3) $\frac{s^3 + 3s^2 + s - 2}{(s^2+1)^2}$

(4) $\frac{s+2}{s^3}$

(5) $\frac{s-1}{(s-3)^3}$

(6) $\frac{2s^3 - 6s^2 + 2s + 2}{(s^2+1)^3}$