問題3は、関数 $f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ ($x \neq 0$), $f(0) = 0$, $g(x) = x$ が与えられたとき、以下の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$

1. 問題の内容

問題3は、関数 $f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ ($x \neq 0$), $f(0) = 0$, $g(x) = x$ が与えられたとき、以下の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$

2. 解き方の手順

(1) まず、$f'(x)$と$g'(x)$を計算します。

$g(x) = x$ なので、$g'(x) = 1$です。

$f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})$ ($x \neq 0$)に対して、積の微分公式と合成関数の微分公式を使うと、$x \neq 0$のとき

$f'(x) = 2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$

$x=0$のとき、$f(0)=0$より、微分係数の定義から

$f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ (∵ $-|h| \leq h\sin(\frac{1}{h}) \leq |h|$、はさみうちの原理)

よって、$f'(0)=0$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})}{1} = \lim_{x\to 0} \left(2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})\right)$

ここで、$\lim_{x\to 0} 2x \sin(\frac{1}{x}) = 0$ですが、$\lim_{x\to 0} \cos(\frac{1}{x})$ は存在しません。なぜなら、$x$を限りなく0に近づけたときに、$\frac{1}{x}$は限りなく大きくなり、$\cos(\frac{1}{x})$は-1から1の間で振動し続けるからです。

したがって、$\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ は存在しません。

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 \sin(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x\to 0} x \sin(\frac{1}{x})$

$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$であり、$\lim_{x\to 0} -|x| = 0$, $\lim_{x\to 0} |x| = 0$なので、はさみうちの原理より、$\lim_{x\to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) 0