与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2+2}}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2+2}}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ なので、$x < 0$ であることに注意します。

まず、$\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$x < 0$ のとき $|x| = -x$ であることを利用します。

$\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^2(2 + \frac{2}{x^2})} = |x| \sqrt{2 + \frac{2}{x^2}} = -x \sqrt{2 + \frac{2}{x^2}}$ と変形します。

与えられた関数を以下のように変形します。

$\frac{x + \sqrt{2x^2+2}}{x} = \frac{x - x\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{x} = \frac{x(1 - \sqrt{2+\frac{2}{x^2}})}{x} = 1 - \sqrt{2+\frac{2}{x^2}}$

したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2+2}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1 - \sqrt{2+\frac{2}{x^2}}\right)$

ここで、$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x^2} = 0$ であるから、

$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \sqrt{2+\frac{2}{x^2}}\right) = 1 - \sqrt{2+0} = 1 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{2}$