次の不定積分を計算してください。 $\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算してください。

$\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分割します。

$\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx = \int \frac{4x}{x^2+36} dx + \int \frac{3}{x^2+36} dx$

最初の積分を計算します。$u = x^2+36$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

$\int \frac{4x}{x^2+36} dx = 2\int \frac{2x}{x^2+36} dx = 2\int \frac{du}{u} = 2\ln|u| + C_1 = 2\ln(x^2+36) + C_1$

ここで、$x^2+36>0$なので、絶対値は省略しました。

次に、2番目の積分を計算します。$\int \frac{3}{x^2+36} dx = 3\int \frac{1}{x^2+6^2} dx$

$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$ を用いると、

$3\int \frac{1}{x^2+6^2} dx = 3 \cdot \frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{6}) + C_2 = \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{6}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{4x+3}{x^2+36} dx = 2\ln(x^2+36) + \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{6}) + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ です。

3. 最終的な答え

$2\ln(x^2+36) + \frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{6}) + C$