$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2 + 2}}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2 + 2}}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が負の無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ であることに注意します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{2x^2 + 2}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + \sqrt{x^2(2 + \frac{2}{x^2})}}{x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x + |x|\sqrt{2 + \frac{2}{x^2}}}{x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x - x\sqrt{2 + \frac{2}{x^2}}}{x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1 - \sqrt{2 + \frac{2}{x^2}})}{x}$

$= \lim_{x \to -\infty} (1 - \sqrt{2 + \frac{2}{x^2}})$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{2}{x^2} \to 0$ なので、

$= 1 - \sqrt{2 + 0}$

$= 1 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{2}$