関数 $f(t) = (t^2 + t) \sin t$ のラプラス変換を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = (t^2 + t) \sin t$ のラプラス変換を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin t$ のラプラス変換を求めます。

$\mathcal{L}\{\sin t\} = \frac{1}{s^2+1}$

次に、$t \sin t$ のラプラス変換を求めます。

$t f(t)$ のラプラス変換は$-\frac{d}{ds}F(s)$であることを利用します。

$\mathcal{L}\{t \sin t\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^2+1}\right) = \frac{2s}{(s^2+1)^2}$

次に、$t^2 \sin t$ のラプラス変換を求めます。

$\mathcal{L}\{t^2 \sin t\} = \mathcal{L}\{t(t \sin t)\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{2s}{(s^2+1)^2}\right)$

$\frac{d}{ds}\left(\frac{2s}{(s^2+1)^2}\right) = \frac{2(s^2+1)^2 - 2s \cdot 2(s^2+1)(2s)}{(s^2+1)^4} = \frac{2(s^2+1) - 8s^2}{(s^2+1)^3} = \frac{2s^2+2 - 8s^2}{(s^2+1)^3} = \frac{-6s^2+2}{(s^2+1)^3} = \frac{2-6s^2}{(s^2+1)^3}$

したがって、

$\mathcal{L}\{t^2 \sin t\} = -\frac{2-6s^2}{(s^2+1)^3} = \frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3}$

求めるラプラス変換は、

$\mathcal{L}\{(t^2+t) \sin t\} = \mathcal{L}\{t^2 \sin t\} + \mathcal{L}\{t \sin t\} = \frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3} + \frac{2s}{(s^2+1)^2}$

$\frac{6s^2-2}{(s^2+1)^3} + \frac{2s(s^2+1)}{(s^2+1)^3} = \frac{6s^2-2+2s^3+2s}{(s^2+1)^3} = \frac{2s^3+6s^2+2s-2}{(s^2+1)^3}$

3. 最終的な答え

$\mathcal{L}\{(t^2+t) \sin t\} = \frac{2s^3+6s^2+2s-2}{(s^2+1)^3}$