$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。

積分区間の上限が $x$ である定積分の微分に関する基本定理を用いると、左辺は $f(x)$ となります。

右辺は多項式なので簡単に微分できます。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

$\frac{d}{dx} (x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

したがって、

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

次に、$a$ の値を求めます。

与えられた等式に $x = a$ を代入すると、積分区間が $a$ から $a$ となるため、左辺は $0$ になります。したがって、右辺も $0$ になるはずです。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^4 - 4a^3 + 5a^2 - 2a = 0$

$a(a^3 - 4a^2 + 5a - 2) = 0$

$a(a-1)(a^2 - 3a + 2) = 0$

$a(a-1)(a-1)(a-2) = 0$

$a(a-1)^2 (a-2) = 0$

よって、$a = 0, 1, 2$

3. 最終的な答え

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

$a = 0, 1, 2$