次の不定積分を計算します。 $\int (x+5)^{-\frac{1}{2}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int (x+5)^{-\frac{1}{2}} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分法を用いて解くことができます。

$u = x + 5$ と置くと、$du = dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int (x+5)^{-\frac{1}{2}} dx = \int u^{-\frac{1}{2}} du$

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は、べきの積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて計算できます。

$\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{1}{2}} + C$

ここで、$u = x + 5$ を代入すると、

$2(x+5)^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x+5} + C$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x+5} + C$