問題は、与えられた関数 $f(x)$ について、マクローリン展開を $n=4$ まで求めることです。ここで、マクローリン展開とは、テイラー展開の中心を $x=0$ とした場合の展開のことです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $f(x)$ について、マクローリン展開を $n=4$ まで求めることです。ここで、マクローリン展開とは、テイラー展開の中心を $x=0$ とした場合の展開のことです。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + ...$

$n=4$ までのマクローリン展開を求めるには、$f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), f^{(4)}(0)$ を計算し、上記の式に代入する必要があります。

(1) $f(x) = \cos x$

$f(x) = \cos x$

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(x) = -\sin x$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(x) = -\cos x$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(x) = \sin x$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

$f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1$

したがって、

$f(x) \approx 1 + 0x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

(2) $f(x) = e^{-x}$

$f(x) = e^{-x}$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = -e^{-x}$

$f'(0) = -e^0 = -1$

$f''(x) = e^{-x}$

$f''(0) = e^0 = 1$

$f'''(x) = -e^{-x}$

$f'''(0) = -e^0 = -1$

$f^{(4)}(x) = e^{-x}$

$f^{(4)}(0) = e^0 = 1$

したがって、

$f(x) \approx 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$

(3) $f(x) = \log (1+x)$

$f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -(1+x)^{-2}$

$f''(0) = -1$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4}$

$f^{(4)}(0) = -6$

したがって、

$f(x) \approx 0 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{6} - \frac{6x^4}{24} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$

(4) $f(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$

$f(x) = (1-x)^{-1}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = (1-x)^{-2}$

$f'(0) = 1$

$f''(x) = 2(1-x)^{-3}$

$f''(0) = 2$

$f'''(x) = 6(1-x)^{-4}$

$f'''(0) = 6$

$f^{(4)}(x) = 24(1-x)^{-5}$

$f^{(4)}(0) = 24$

したがって、

$f(x) \approx 1 + x + \frac{2x^2}{2} + \frac{6x^3}{6} + \frac{24x^4}{24} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$

(5) $f(x) = e^x + e^{-x}$

$f(x) = e^x + e^{-x}$

$f(0) = 1 + 1 = 2$

$f'(x) = e^x - e^{-x}$

$f'(0) = 1 - 1 = 0$

$f''(x) = e^x + e^{-x}$

$f''(0) = 1 + 1 = 2$

$f'''(x) = e^x - e^{-x}$

$f'''(0) = 1 - 1 = 0$

$f^{(4)}(x) = e^x + e^{-x}$

$f^{(4)}(0) = 1 + 1 = 2$

したがって、

$f(x) \approx 2 + \frac{2x^2}{2} + \frac{2x^4}{24} = 2 + x^2 + \frac{x^4}{12}$

(6) $f(x) = (1+x)^a$

$f(x) = (1+x)^a$

$f(0) = (1+0)^a = 1$

$f'(x) = a(1+x)^{a-1}$

$f'(0) = a$

$f''(x) = a(a-1)(1+x)^{a-2}$

$f''(0) = a(a-1)$

$f'''(x) = a(a-1)(a-2)(1+x)^{a-3}$

$f'''(0) = a(a-1)(a-2)$

$f^{(4)}(x) = a(a-1)(a-2)(a-3)(1+x)^{a-4}$

$f^{(4)}(0) = a(a-1)(a-2)(a-3)$

したがって、

$f(x) \approx 1 + ax + \frac{a(a-1)x^2}{2} + \frac{a(a-1)(a-2)x^3}{6} + \frac{a(a-1)(a-2)(a-3)x^4}{24}$

(7) $f(x) = \cos 3x$

$f(x) = \cos 3x$

$f(0) = 1$

$f'(x) = -3\sin 3x$

$f'(0) = 0$

$f''(x) = -9\cos 3x$

$f''(0) = -9$

$f'''(x) = 27\sin 3x$

$f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = 81\cos 3x$

$f^{(4)}(0) = 81$

したがって、

$f(x) \approx 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8}$

(8) $f(x) = e^x \sin x$

$f(0) = 0$

$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

$f'(0) = 1(0+1) = 1$

$f''(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$

$f''(0) = 2$

$f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = 2e^x (\cos x - \sin x) - 2e^x (\sin x + \cos x) = -4e^x \sin x$

$f^{(4)}(0) = 0$

$f(x) \approx x + x^2 + \frac{x^3}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

(2) $f(x) \approx 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$

(3) $f(x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$

(4) $f(x) \approx 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$

(5) $f(x) \approx 2 + x^2 + \frac{x^4}{12}$

(6) $f(x) \approx 1 + ax + \frac{a(a-1)x^2}{2} + \frac{a(a-1)(a-2)x^3}{6} + \frac{a(a-1)(a-2)(a-3)x^4}{24}$

(7) $f(x) \approx 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8}$

(8) $f(x) \approx x + x^2 + \frac{x^3}{3}$