関数 $y = \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}}$ (ただし $x > 0$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}}$ (ただし $x > 0$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}}$ の最小値を求めるために、微分を用いて増減を調べます。

まず、関数 $y$ の対数をとります。

$$\log y = \log \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}} = \log e^{x^2} - \log \sqrt{x} = x^2 - \frac{1}{2} \log x$$

両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2x - \frac{1}{2x} = \frac{4x^2 - 1}{2x}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{4x^2 - 1}{2x} = \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x^2 - 1}{2x} = \frac{e^{x^2}(4x^2 - 1)}{2x\sqrt{x}}$$

$x > 0$ であるから、$e^{x^2} > 0$, $2x\sqrt{x} > 0$ です。したがって、$\frac{dy}{dx}$ の符号は $4x^2 - 1$ の符号によって決まります。

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは、$4x^2 - 1 = 0$ のときです。つまり、$x^2 = \frac{1}{4}$ であり、$x > 0$ であるから、$x = \frac{1}{2}$ です。

$0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$4x^2 - 1 < 0$ なので、$\frac{dy}{dx} < 0$ となり、$y$ は減少します。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$4x^2 - 1 > 0$ なので、$\frac{dy}{dx} > 0$ となり、$y$ は増加します。

したがって、$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最小値をとります。

最小値は

$$y = \frac{e^{(\frac{1}{2})^2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} e^{\frac{1}{4}}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}e^{\frac{1}{4}}$