陰関数 $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$x^2 - y^2 = xy$ を $x$ で微分すると、

$$2x - 2y \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$$

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$$

次に、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x - y}{x + 2y} \right)$$

商の微分公式を使用します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$$

$\frac{dy}{dx}$ に $\frac{2x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{2x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{2x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$$

$$= \frac{(2(x + 2y) - (2x - y))(x + 2y) - (2x - y)((x + 2y) + 2(2x - y))}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{(2x + 4y - 2x + y)(x + 2y) - (2x - y)(x + 2y + 4x - 2y)}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{(5y)(x + 2y) - (2x - y)(5x)}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{5xy + 10y^2 - 10x^2 + 5xy}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{-10x^2 + 10xy + 10y^2}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{10(-x^2 + xy + y^2)}{(x + 2y)^3}$$

$x^2 - y^2 = xy$ より、$-x^2 + xy + y^2 = -2x^2+2y^2$なので、

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{10(x^2-xy-y^2)}{(x+2y)^3}=\frac{10(x^2-(x^2-y^2)-y^2)}{(x+2y)^3} = 0$$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$

## (2) の問題

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x=1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ に $x=1$ を代入して、$y$ の値を求めます。

$$1 + 2y + 2y^2 = 1$$

$$2y(1 + y) = 0$$

$y = 0$ または $y = -1$

次に、$x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$$2x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 4y \frac{dy}{dx} = 0$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{2x + 4y} = \frac{-x - y}{x + 2y}$$

次に、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{-x - y}{x + 2y} \right)$$

商の微分公式を使用します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-1 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (-x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$$

$\frac{dy}{dx}$ に $\frac{-x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-1 - \frac{-x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (-x - y)(1 + 2\frac{-x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$$

$$= \frac{(-(x+2y) + (x+y))(x + 2y) - (-x - y)((x+2y) -2(x+y))}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{(-y)(x+2y) - (-x - y)(-x)}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{-xy - 2y^2 - x^2 - xy}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{-x^2 - 2xy - 2y^2}{(x + 2y)^3}$$

$$= \frac{-(x^2 + 2xy + 2y^2)}{(x + 2y)^3}$$

問題の式 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ より、

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(x + 2y)^3}$$

$x = 1$ のとき、$y = 0$ または $y = -1$ です。

$x = 1, y = 0$ のとき、

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(1 + 2(0))^3} = \frac{-1}{1} = -1$$

$x = 1, y = -1$ のとき、

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(1 + 2(-1))^3} = \frac{-1}{(-1)^3} = \frac{-1}{-1} = 1$$

3. 最終的な答え

$x = 1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値は $-1$ と $1$ です。

## (3) の問題

1. 問題の内容

陰関数 $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x=0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ に $x=0$ を代入して、$y$ の値を求めます。

$$(0)^3 y^2 + \cos y - \log(2+(0)^2) = 0$$

$$\cos y - \log 2 = 0$$

$$\cos y = \log 2$$

$\log 2 \approx 0.693$ であり、$0 \le y < 2\pi$ の範囲で $\cos y = \log 2$ となる $y$ の値は2つ存在します。$y_1 = \arccos(\log 2)$ と $y_2 = 2\pi - \arccos(\log 2)$ とします。

次に、$x$ で微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$$3x^2 y^2 + x^3 (2y) \frac{dy}{dx} - (\sin y) \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$$

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$$\frac{dy}{dx} (2x^3 y - \sin y) = \frac{2x}{2+x^2} - 3x^2 y^2$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x}{2+x^2} - 3x^2 y^2}{2x^3 y - \sin y}$$

$x = 0$ のとき、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{0}{- \sin y} = 0$$

次に、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分します。

$x = 0$ のとき $\frac{dy}{dx} = 0$ なので、微分した式に $x=0$ を代入すると簡単になります。

$3x^2 y^2 + x^3 (2y) \frac{dy}{dx} - (\sin y) \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$ を再度微分する

$6xy^2+3x^2 2y \frac{dy}{dx}+3x^2 2y \frac{dy}{dx}+x^3 2(\frac{dy}{dx})^2+2x^3y \frac{d^2y}{dx^2}-(\cos y)(\frac{dy}{dx})^2 - (\sin y)\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{2(2+x^2)-2x(2x)}{(2+x^2)^2}=0$

$x=0$を代入すると、

$- (\sin y)\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{4}{4}=0$

$- (\sin y)\frac{d^2 y}{dx^2} - 1=0$

よって$\frac{d^2 y}{dx^2}= - \frac{1}{\sin y}$

$y_1 = \arccos(\log 2)$ のとき、 $\sin y_1 = \sqrt{1 - (\log 2)^2}$

$y_2 = 2\pi - \arccos(\log 2)$ のとき、$\sin y_2 = - \sqrt{1 - (\log 2)^2}$

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{\sin y_1} = \frac{-1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$$

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{\sin y_2} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$$

3. 最終的な答え

$x = 0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値は $\frac{-1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - (\log 2)^2}}$ です。