関数 $f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $2\sin x + \cos x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ と $a$ で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。 (2) $a > 3$ のとき、$f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $2\sin x + \cos x = t$ とするとき、$f(x)$ を $t$ と $a$ で表し、$t$ の取りうる値の範囲を求める。

(2) $a > 3$ のとき、$f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = 2\sin x + \cos x$ を変形して、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表すことを考える。

$t^2 = (2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x$

ここで、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を利用すると、

$t^2 = 3\sin^2 x + \sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x$

$t^2 = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + 1$

したがって、$3\sin^2 x + 4\sin x \cos x = t^2 - 1$

与えられた関数 $f(x)$ に代入すると、

$f(x) = 3\sin^2 x + 4\sin x \cos x - 2a(2\sin x + \cos x) + 2 = (t^2 - 1) - 2at + 2 = t^2 - 2at + 1$

したがって、$f(x) = t^2 - 2at + 1$

次に、$t = 2\sin x + \cos x$ の取りうる値の範囲を求める。

$t = 2\sin x + \cos x = \sqrt{2^2 + 1^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha)$

ただし、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ を満たす角である。

$-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$ より、$-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$

(2)

$f(x) = t^2 - 2at + 1$ を平方完成すると、

$f(x) = (t - a)^2 - a^2 + 1$

軸 $t = a$ が $-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$ の範囲外、つまり $a > \sqrt{5}$ のとき、最小値は $t = \sqrt{5}$ でとる。

$a > 3 > \sqrt{5}$ なので、最小値は

$f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^2 - 2a\sqrt{5} + 1 = 5 - 2\sqrt{5}a + 1 = 6 - 2\sqrt{5}a$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - 2at + 1$

$-\sqrt{5} \le t \le \sqrt{5}$

(2) $6 - 2\sqrt{5}a$