(2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ のグラフを描き、凹凸を調べよ。 (4) $f(x) = \sin x \cos x$ （$0 \leq x \leq \pi$）のグラフを描き、凹凸を調べよ。

1. 問題の内容

(2) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ のグラフを描き、凹凸を調べよ。

(4) $f(x) = \sin x \cos x$ （$0 \leq x \leq \pi$）のグラフを描き、凹凸を調べよ。

2. 解き方の手順

(2)

まず、$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ の導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{(-2x)(x^2 + 1)^2 - (1 - x^2) \cdot 2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} = \frac{-2x(x^2 + 1) - 4x(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^3} = \frac{-2x^3 - 2x - 4x + 4x^3}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}$

凹凸を調べるために、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x(x^2 - 3) = 0$ より、$x = 0, \pm \sqrt{3}$

増減表を作成します。

| x | -∞ | -√3 | | 0 | | √3 | | +∞ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| f''(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | ↘ | -√3/4 | ↗ | 0 | ↘ | √3/4 | ↗ | |

$x < -\sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$ なので上に凸

$-\sqrt{3} < x < 0$ のとき、$f''(x) > 0$ なので下に凸

$0 < x < \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) < 0$ なので上に凸

$x > \sqrt{3}$ のとき、$f''(x) > 0$ なので下に凸

(4)

$f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$f'(x) = \cos 2x$

$f''(x) = -2 \sin 2x$

凹凸を調べるために、$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-2 \sin 2x = 0$ より、$2x = n\pi$ ($n$は整数) なので、$x = \frac{n\pi}{2}$

$0 \leq x \leq \pi$ より、$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

| x | 0 | | π/2 | | π |

|---|---|---|---|---|---|

| f''(x) | 0 | - | 0 | + | 0 |

| f(x) | 0 | ↘ | 0 | ↗ | 0 |

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$f''(x) < 0$ なので上に凸

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$f''(x) > 0$ なので下に凸

3. 最終的な答え

(2)

上に凸区間: $(-\infty, -\sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

下に凸区間: $(-\sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

(4)

上に凸区間: $(0, \frac{\pi}{2})$

下に凸区間: $(\frac{\pi}{2}, \pi)$