関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分して、$y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分して、$y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分するために、商の微分法、または合成関数の微分法を用いる。ここでは、合成関数の微分法を用いて解く。

まず、$y = \frac{1}{u}$ と $u = x^2 - 1$ と置く。

すると、$y = \frac{1}{u}$ の導関数は、

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2}$

そして、$u = x^2 - 1$ の導関数は、

$\frac{du}{dx} = 2x$

である。

したがって、合成関数の微分法より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$