与えられた数列の和 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 数列 $S$ の両辺に $\frac{1}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

2. $S$ から $\frac{1}{3}S$ を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

3. 左辺を整理します。

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

4. 右辺の $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は、初項1、公比 $\frac{1}{3}$、項数 $n$ の等比数列の和なので、次のようになります。

$\frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n})$

よって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

5. $S$ について解きます。

$S = \frac{3}{2} \left(\frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}\right)$

$S = \frac{9}{4} (1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

画像に書かれている計算の続きを以下に示します。

$\frac{2}{3}S = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3 \cdot 3^n - 3 - 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot 3^n - 3 - 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2 \cdot 3^n} \cdot \frac{3}{2}$

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2 \cdot 3^n} \cdot \frac{3}{2}$

したがって

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}} \cdot \frac{1}{3^{n-1}}$

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}$