与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int (-ge + v \sin \theta) de$ ここで、$g$, $v$, $\theta$ は定数であると仮定します。変数 $e$ に関する積分です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int (-ge + v \sin \theta) de$

ここで、$g$, $v$, $\theta$ は定数であると仮定します。変数 $e$ に関する積分です。

2. 解き方の手順

積分を計算するために、積分を2つの部分に分けます。

$\int (-ge + v \sin \theta) de = \int -ge \, de + \int v \sin \theta \, de$

まず、$\int -ge \, de$ を計算します。$g$ は定数なので、積分記号の外に出すことができます。

$\int -ge \, de = -g \int e \, de = -g \frac{e^2}{2} + C_1$

次に、$\int v \sin \theta \, de$ を計算します。$v$ と $\sin \theta$ は定数なので、積分記号の外に出すことができます。

$\int v \sin \theta \, de = v \sin \theta \int de = v \sin \theta \, e + C_2$

したがって、

$\int (-ge + v \sin \theta) de = -g \frac{e^2}{2} + v \sin \theta \, e + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int (-ge + v \sin \theta) de = -\frac{ge^2}{2} + e v \sin \theta + C$