関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^3+1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分公式を使う必要があります。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ が与えられたとき、その微分は次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

ここで、$u(x) = x - 1$ であり、$v(x) = x^3 + 1$ です。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を求めます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2$

次に、これらの導関数を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x^3 + 1) - (x - 1) \cdot 3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

これを整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^3 + 1 - 3x^3 + 3x^2}{(x^3 + 1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$

さらに、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$であることに注意すると、$x=1$が特異点ではないことがわかる。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^3 + 3x^2 + 1}{(x^3 + 1)^2}$