関数 $f(x) = \sin x \cos x$ について、区間 $0 \le x \le \pi$ で考える問題である。問題文はここで終わっているため、具体的な問題が不明瞭であるが、ここでは関数$f(x)$の最大値、最小値、グラフ、積分値等を求める問題であると推測し、まずはグラフを作成する事を目標にする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x \cos x$ について、区間 $0 \le x \le \pi$ で考える問題である。問題文はここで終わっているため、具体的な問題が不明瞭であるが、ここでは関数$f(x)$の最大値、最小値、グラフ、積分値等を求める問題であると推測し、まずはグラフを作成する事を目標にする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を三角関数の公式を用いて変形する。

$f(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin 2x$

よって、$f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ となる。

次に、$f(x)$ の増減を調べるために微分を計算する。

$f'(x) = \frac{1}{2} (\cos 2x) \cdot 2 = \cos 2x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$\cos 2x = 0$ のとき。

$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$f(0) = \frac{1}{2} \sin 0 = 0$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$

$f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} \sin \frac{3\pi}{2} = -\frac{1}{2}$

$f(\pi) = \frac{1}{2} \sin 2\pi = 0$

増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{4}$ | ... | $\frac{3\pi}{4}$ | ... | $\pi$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | 0 | ↑ | $\frac{1}{2}$ | ↓ | $-\frac{1}{2}$ | ↑ | 0 |

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ の区間 $0 \le x \le \pi$ における増減表は上記のとおり。

最大値は $\frac{1}{2}$ ( $x = \frac{\pi}{4}$ のとき )

最小値は $-\frac{1}{2}$ ( $x = \frac{3\pi}{4}$ のとき )

グラフの概形は、0から$\pi$/4まで増加し、$\pi$/4で最大値1/2をとり、3$\pi$/4まで減少し、3$\pi$/4で最小値-1/2をとり、その後$\pi$まで増加する。