関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。ただし、$a$ は実数の定数であり、$M(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして表現する必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2x$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。ただし、$a$ は実数の定数であり、$M(a)$ を $a$ の範囲によって場合分けして表現する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ のグラフについて調べます。$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x - 1)^2 + 1$

したがって、$f(x)$ のグラフは頂点が $(1, 1)$ で、軸が直線 $x = 1$ である上に凸の放物線です。

次に、区間 $a \le x \le a+1$ に軸 $x=1$ が含まれるかどうかで場合分けします。

(i) $a < 1$ のとき:

このとき、$a+1 < 1$ であれば、区間 $a \le x \le a+1$ で $f(x)$ は単調増加であり、$x = a+1$ で最大値をとります。つまり、$M(a) = f(a+1)$ となります。

$a+1 \ge 1$ のとき，つまり $a \ge 0$ ならば、軸が含まれます。$M(a)=1$.

$a+1 < 1$, つまり、$a < 0$ のとき，$f(a+1)=-(a+1)^2 + 2(a+1) = -(a^2+2a+1)+2a+2 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 2 = -a^2 + 1$

$a+1 = 1$, $a=0$ のとき、$f(a+1) = f(1) = 1$

$a = 1$ のとき、$a+1 = 2 > 1$

区間 $a \le x \le a+1$ に $x = 1$ が含まれる（$a \le 1 \le a+1$）かどうかで場合分けします。

$a \le 1 \le a+1 \Leftrightarrow 0 \le a \le 1$.

$a < 0$ のとき、$M(a) = f(a+1) = -a^2 + 1$.

$0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = f(1) = 1$.

(ii) $0 \le a \le 1$のとき、$M(a) = 1$.

(iii) $a > 1$のとき、$M(a) = f(a) = -a^2 + 2a$.

(i) $a < 0$ のとき、$M(a) = -a^2 + 1$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = 1$

(iii) $a > 1$ のとき、$M(a) = -a^2 + 2a$

したがって、

ア: (1, 1)

イ: 1

ウ: 0

エ: -1

オ: 0

カ: 1

キ: 1

ク: 0

ケ: 0

コ: 1

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: 0

エ: -1

オ: 0

カ: 1

キ: 1

ク: -1

ケ: 2

コ: 0