関数 $f(x)$ について、平均値の定理の式 $f(b) = f(a) + (b-a)f'(c)$, ($a < c < b$) を満たす $c$ を $a$ と $b$ で表す問題です。具体的には、(a) $f(x) = x^2$ と (b) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の２つの場合について解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ について、平均値の定理の式 $f(b) = f(a) + (b-a)f'(c)$, ($a < c < b$) を満たす $c$ を $a$ と $b$ で表す問題です。具体的には、(a) $f(x) = x^2$ と (b) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の２つの場合について解きます。

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = x^2$ の場合:

まず、$f(a)$, $f(b)$, $f'(x)$, $f'(c)$ を求めます。

$f(a) = a^2$, $f(b) = b^2$, $f'(x) = 2x$, $f'(c) = 2c$

これを平均値の定理の式に代入します。

$b^2 = a^2 + (b-a)(2c)$

$b^2 = a^2 + 2bc - 2ac$

$2ac - 2bc = a^2 - b^2$

$-2c(b-a) = (a-b)(a+b)$

$2c(b-a) = (b-a)(a+b)$

$c = \frac{a+b}{2}$

(b) $f(x) = 2\sqrt{x}$ の場合:

まず、$f(a)$, $f(b)$, $f'(x)$, $f'(c)$ を求めます。

$f(a) = 2\sqrt{a}$, $f(b) = 2\sqrt{b}$, $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $f'(c) = \frac{1}{\sqrt{c}}$

これを平均値の定理の式に代入します。

$2\sqrt{b} = 2\sqrt{a} + (b-a)\frac{1}{\sqrt{c}}$

$2\sqrt{b} - 2\sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{c}}$

$\sqrt{c} = \frac{b-a}{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$

$\sqrt{c} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{2(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$

$\sqrt{c} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{2}$

$c = \left(\frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{2}\right)^2$

$c = \frac{b + 2\sqrt{ab} + a}{4}$

3. 最終的な答え

(a) $c = \frac{a+b}{2}$

(b) $c = \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}$