関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^4 + 5}$ を微分する。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、連鎖律を用いる。

まず、$y = \frac{1}{u}$ と置き、$u = x^4 + 5$ とする。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\frac{1}{u}) = \frac{d}{du} (u^{-1}) = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x^4 + 5) = 4x^3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 4x^3 = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4x^3}{(x^4 + 5)^2}$