与えられた関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3x + 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則を2回適用します。

まず、$u = (x^3 + 2x)$、$v = (x^2 + x + 2)$、$w = (3x + 1)$ とおくと、$y = uvw$ となります。積の微分法則より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$

各項を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 2) = 2x + 1$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(3x + 1) = 3$

これらの結果を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2)(x^2 + x + 2)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(2x + 1)(3x + 1) + (x^3 + 2x)(x^2 + x + 2)(3)$

あとはこれを展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = (3x^2 + 2)(3x^3 + 4x^2 + 7x + 1) + (x^3 + 2x)(6x^2 + 5x + 1) + (x^3 + 2x)(3x^2 + 3x + 6)$

$\frac{dy}{dx} = (9x^5 + 12x^4 + 21x^3 + 3x^2 + 6x^3 + 8x^2 + 14x + 2) + (6x^5 + 5x^4 + x^3 + 12x^3 + 10x^2 + 2x) + (3x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 6x^3 + 6x^2 + 12x)$

$\frac{dy}{dx} = 9x^5 + 12x^4 + 27x^3 + 11x^2 + 14x + 2 + 6x^5 + 5x^4 + 13x^3 + 10x^2 + 2x + 3x^5 + 3x^4 + 12x^3 + 6x^2 + 12x$

$\frac{dy}{dx} = (9+6+3)x^5 + (12+5+3)x^4 + (27+13+12)x^3 + (11+10+6)x^2 + (14+2+12)x + 2$

$\frac{dy}{dx} = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 27x^2 + 28x + 2$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 18x^5 + 20x^4 + 52x^3 + 27x^2 + 28x + 2$