関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は以下の通りです。

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\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

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ここで、$u = x^2 + 1$、$v = x^2 - 1$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

次に、商の微分公式に代入します。

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y' = \frac{(2x)(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}

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分子を整理します。

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y' = \frac{2x^3 - 2x - (2x^3 + 2x)}{(x^2 - 1)^2}

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y' = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2}

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y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}

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3. 最終的な答え

$y' = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$