関数 $f(x) = xe^x$ の増減表と凹凸表を作り、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^x$ の増減表と凹凸表を作り、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める：

まず、$f(x) = xe^x$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$$f'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x$$

次に、第二導関数 $f''(x)$ を求めます。

$$f''(x) = (f'(x))' = ((1+x)e^x)' = (1+x)'e^x + (1+x)(e^x)' = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x$$

(2) 増減表を作る：

$f'(x) = (1+x)e^x = 0$ となる $x$ を求めます。$e^x > 0$ より、 $1+x = 0$ なので $x = -1$ です。

$f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > -1$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -1$ で極小値をとります。$f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -1/e$

(3) 凹凸表を作る：

$f''(x) = (2+x)e^x = 0$ となる $x$ を求めます。$e^x > 0$ より、$2+x = 0$ なので $x = -2$ です。

$f''(x)$ の符号を調べます。

- $x < -2$ のとき、$f''(x) < 0$ (上に凸)

- $x > -2$ のとき、$f''(x) > 0$ (下に凸)

したがって、$x = -2$ で変曲点を持つ。$f(-2) = -2e^{-2} = -2/e^2$

(4) 増減・凹凸表を作成する：

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... |

| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | - | - | 0 | + |

| f''(x)| - | 0 | + | + | + |

| f(x) | 減少,上に凸 | -2/e^2 | 減少,下に凸 | -1/e | 増加,下に凸 |

(5) グラフを描く：

グラフは、$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$。また、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$。

極小値は $x = -1$ で $f(-1) = -1/e \approx -0.368$。

変曲点は $x = -2$ で $f(-2) = -2/e^2 \approx -0.271$。

$f(0) = 0$ なので、$x=0$ でグラフは原点を通る。

3. 最終的な答え

増減・凹凸表とグラフ（グラフは省略）。