以下の不定積分を計算します。 (1) $\int (x^5 + 3x^4 + 2x^2 - 5) dx$ (2) $\int (x+3)^2 dx$ (3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (4) $\int (e^{-3x} + \cos 2x) dx$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算します。

(1) $\int (x^5 + 3x^4 + 2x^2 - 5) dx$

(2) $\int (x+3)^2 dx$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

(4) $\int (e^{-3x} + \cos 2x) dx$

2. 解き方の手順

(1) 各項ごとに積分を行います。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$\int (x^5 + 3x^4 + 2x^2 - 5) dx = \int x^5 dx + 3 \int x^4 dx + 2 \int x^2 dx - 5 \int dx$

$= \frac{x^6}{6} + 3 \cdot \frac{x^5}{5} + 2 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x + C$

(2) $(x+3)^2$を展開してから積分します。

$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$\int (x+3)^2 dx = \int (x^2 + 6x + 9) dx = \int x^2 dx + 6 \int x dx + 9 \int dx$

$= \frac{x^3}{3} + 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 9x + C = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x + C$

(3) $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ と変形してから積分します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

(4) 各項ごとに積分を行います。

$\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$

$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

$\int (e^{-3x} + \cos 2x) dx = \int e^{-3x} dx + \int \cos 2x dx = \frac{e^{-3x}}{-3} + \frac{\sin 2x}{2} + C = -\frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{2}\sin 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^6}{6} + \frac{3x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - 5x + C$

(2) $\frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x + C$

(3) $2\sqrt{x} + C$

(4) $-\frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{2}\sin 2x + C$