与えられた関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$を指数関数で書き換えます。

$y = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{3}}$

次に、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

対数の性質を使って右辺を書き換えます。

$\ln y = \frac{1}{3} \left(\ln(x-1) - \ln(x+1)\right)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$

$\frac{dy}{dx}$について解きます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)$

右辺の括弧内を通分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left(\frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left(\frac{x+1-x+1}{x^2-1}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left(\frac{2}{x^2-1}\right)$

$y$を元の式に戻します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\frac{2}{x^2-1}\right)$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{3}} \frac{1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \frac{(x-1)^{\frac{1}{3}}}{(x+1)^{\frac{1}{3}}} \frac{1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{4}{3}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3(x-1)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{4}{3}}}$