与えられた関数 $y = (x^3 + 3x)(x^2 - x + 2)$ を微分して、$dy/dx$ を求める問題です。

解析学微分積の微分多項式

2025/7/5

1. 問題の内容

与えられた関数

y = (x^3 + 3x)(x^2 - x + 2)

を微分して、

dy/dx

を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式

(uv)' = u'v + uv'

を使います。

ここで、

u = x^3 + 3x

v = x^2 - x + 2

とおきます。

まず、

u

と

v

の微分を求めます。

u' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x) = 3x^2 + 3

v' = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 2) = 2x - 1

次に、積の微分公式に当てはめます。

\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (3x^2 + 3)(x^2 - x + 2) + (x^3 + 3x)(2x - 1)

\frac{dy}{dx} = (3x^4 - 3x^3 + 6x^2 + 3x^2 - 3x + 6) + (2x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x)

\frac{dy}{dx} = 3x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 3x + 6 + 2x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x

\frac{dy}{dx} = (3x^4 + 2x^4) + (-3x^3 - x^3) + (9x^2 + 6x^2) + (-3x - 3x) + 6

\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 4x^3 + 15x^2 - 6x + 6

3. 最終的な答え

\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 4x^3 + 15x^2 - 6x + 6

「解析学」の関連問題

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-2} - \sqrt{x})$ の極限値を求めます。

極限有理化関数の極限

与えられた極限を計算します。問題は次の通りです： $\lim_{x \to 8} \sqrt{x - 2}$

極限関数連続

$x^3y^2 + \cos{y} - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求めよ。ただし、$0 \le y < 2\...

陰関数微分高階微分微分

$\int \frac{x^2 - 6}{x^3} dx$ を計算する。

積分不定積分部分分数分解対数関数

与えられた陰関数 $y = y(x)$ に対して、以下の問いに答える問題です。 (1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。 (2) $x...

陰関数微分高階微分

関数 $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x=0$ における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める問題です。ただし、$0 \le...

陰関数微分二階微分

与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to -1} \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^3 + x^2 - 4x - 4} $$

極限因数分解不定形ロピタルの定理

与えられた整数 $n \ge 0$ に対して、$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$ とする。以下の問題を解く。 (1) $a_1$ を求める。 (2) $a_{n+2}$ を $...

定積分部分積分極限ウォリス積分

陰関数 $y=y(x)$ について、以下の問いに答える。 (1) $x^2 - y^2 = xy$ のとき、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求める。 (2) $x^2 + 2xy + 2y...

陰関数微分二階微分

陰関数 $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

陰関数微分二階微分合成関数