与えられた陰関数 $y = y(x)$ に対して、以下の問いに答える問題です。 (1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。 (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。 (3) $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $y = y(x)$ に対して、以下の問いに答える問題です。

(1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。

(3) $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求めます。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2 = xy$ について、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求める。

まず、与えられた式を $x$ で微分します。

$2x - 2y \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$\frac{dy}{dx} (x + 2y) = 2x - y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で微分して $\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x - y}{x + 2y} \right) = \frac{(2 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2 - \frac{2x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (2x - y)(1 + 2\frac{2x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2(x + 2y) - (2x - y))(x + 2y) - (2x - y)((x + 2y) + 2(2x - y))}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2x + 4y - 2x + y)(x + 2y) - (2x - y)(x + 2y + 4x - 2y)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(5y)(x + 2y) - (2x - y)(5x)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{5xy + 10y^2 - 10x^2 + 5xy}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{10xy + 10y^2 - 10x^2}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{10(xy + y^2 - x^2)}{(x + 2y)^3}$

ここで、$x^2 - y^2 = xy$ より、$xy + y^2 - x^2 = -2xy + (xy + y^2 -x^2)+x^2 -y^2 = -x^2 + 2y^2 +xy$. 代入すると0になるので、

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{10 \cdot 0}{(x + 2y)^3} = 0$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ について、$x = 1$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求める。

まず、$x=1$ を代入して $y$ の値を求めます。

$1 + 2y + 2y^2 = 1$

$2y + 2y^2 = 0$

$2y(1 + y) = 0$

$y = 0$ または $y = -1$

次に、与えられた式を $x$ で微分します。

$2x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 4y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} (2x + 4y) = -2x - 2y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{2x + 4y} = \frac{-x - y}{x + 2y}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{-x - y}{x + 2y} \right) = \frac{(-1 - \frac{dy}{dx})(x + 2y) - (-x - y)(1 + 2\frac{dy}{dx})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x - y}{x + 2y}$ を代入します。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-1 - \frac{-x - y}{x + 2y})(x + 2y) - (-x - y)(1 + 2\frac{-x - y}{x + 2y})}{(x + 2y)^2}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-(x + 2y) + (x + y))(x + 2y) - (-x - y)((x + 2y) - 2(x + y))}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-x - 2y + x + y)(x + 2y) - (-x - y)(x + 2y - 2x - 2y)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(-y)(x + 2y) - (-x - y)(-x)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-xy - 2y^2 - (x^2 + xy)}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-x^2 - 2xy - 2y^2}{(x + 2y)^3}$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-(x^2 + 2xy + 2y^2)}{(x + 2y)^3}$

ここで、$x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を代入します。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(x + 2y)^3}$

$x = 1, y = 0$ のとき、$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(1 + 0)^3} = -1$

$x = 1, y = -1$ のとき、$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{(1 - 2)^3} = \frac{-1}{(-1)^3} = \frac{-1}{-1} = 1$

(3) $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2 y}{dx^2}$ の値をすべて求める。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とする。

まず、$x=0$ を代入して $y$ の値を求めます。

$0 + \cos y - \log(2) = 0$

$\cos y = \log(2)$

$\log(2) \approx 0.693$ であるから、$\cos y = 0.693$ となる $y$ の値を求めます。

$y = \arccos(0.693) \approx 0.804$ および $y = 2\pi - \arccos(0.693) \approx 2\pi - 0.804 \approx 5.479$

次に、与えられた式を $x$ で微分します。

$3x^2 y^2 + x^3 (2y) \frac{dy}{dx} - (\sin y) \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

$\frac{dy}{dx} (2x^3 y - \sin y) = -3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}}{2x^3 y - \sin y}$

$x = 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{0}{-\sin y} = 0$ (ただし、$\sin y \ne 0$)

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}}{2x^3 y - \sin y} \right)$

$x=0$ における $\frac{d^2 y}{dx^2}$ を求めるために、$x=0$ での $\frac{dy}{dx}=0$ を用います。

微分した式にx=0を代入すると、式が複雑になるので、再度元の式を微分することを考えます。

$3x^2 y^2 + x^3 (2y) \frac{dy}{dx} + cos y - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

再度微分します。

$6xy^2 + 3x^2 2y \frac{dy}{dx} + 6x^2y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3y\frac{d^2y}{dx^2} -cosy (\frac{d y}{dx})^2 - sin y\frac{d^2y}{dx^2} -\frac{(2+x^2)2 - 2x (2x)}{(2+x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 6x^2y \frac{dy}{dx} + 6x^2y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3y\frac{d^2y}{dx^2} -cosy (\frac{d y}{dx})^2 - sin y\frac{d^2y}{dx^2} -\frac{4+2x^2 - 4x^2}{(2+x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 12x^2y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3y\frac{d^2y}{dx^2} -cosy (\frac{d y}{dx})^2 - sin y\frac{d^2y}{dx^2} -\frac{4-2x^2}{(2+x^2)^2} = 0$

$x=0, \frac{dy}{dx}=0$ を代入

$0+0+0+0-0-siny \frac{d^2y}{dx^2} -\frac{4}{4} =0$

$-siny \frac{d^2y}{dx^2} -1 = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{siny}$

$y = \arccos(0.693) \approx 0.804$ のとき、$\sin(0.804) \approx 0.72$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{0.72} \approx -1.389$

$y = 2\pi - \arccos(0.693) \approx 5.479$ のとき、$\sin(5.479) \approx -0.72$

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-1}{-0.72} \approx 1.389$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$

(2) $x=1$ のとき、$\frac{d^2 y}{dx^2} = -1, 1$

(3) $x=0$ のとき、$\frac{d^2 y}{dx^2} \approx -1.389, 1.389$