$\int \frac{x^2 - 6}{x^3} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \frac{x^2 - 6}{x^3} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int \frac{x^2 - 6}{x^3} dx = \int (\frac{x^2}{x^3} - \frac{6}{x^3}) dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{6}{x^3}) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1$

$\int \frac{6}{x^3} dx = 6 \int x^{-3} dx = 6 \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -3x^{-2} + C_2 = -\frac{3}{x^2} + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{x} - \frac{6}{x^3}) dx = \ln|x| - (-\frac{3}{x^2}) + C = \ln|x| + \frac{3}{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\ln|x| + \frac{3}{x^2} + C$