$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-2} - \sqrt{x})$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-2} - \sqrt{x})$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、式を有理化します。つまり、$\sqrt{x-2} + \sqrt{x}$ を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-2} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x-2} - \sqrt{x}) \cdot \frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{x}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x-2) - x}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x-2} \to \infty$ および $\sqrt{x} \to \infty$ であるため、$\sqrt{x-2} + \sqrt{x} \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x}} = 0$

3. 最終的な答え

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