与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to -1} \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^3 + x^2 - 4x - 4} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to -1} \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^3 + x^2 - 4x - 4}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母に $x = -1$ を代入してみます。

分子: $2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1 = -2 + 1 + 2 - 1 = 0$

分母: $(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$

$x = -1$ を代入すると、分子も分母も 0 になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。したがって、ロピタルの定理または因数分解を利用します。今回は因数分解を利用します。

分子を因数分解します。$x = -1$ が分子の根であることから、$x + 1$ を因数に持つことがわかります。

$2x^3 + x^2 - 2x - 1 = (x + 1)(2x^2 - x - 1) = (x + 1)(2x + 1)(x - 1)$

分母を因数分解します。$x = -1$ が分母の根であることから、$x + 1$ を因数に持つことがわかります。

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$

したがって、

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\lim_{x \to -1} \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^3 + x^2 - 4x - 4} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(2x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}

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$x \to -1$ であるから、$x \neq -1$ であり、$x+1 \neq 0$ であるので、$x+1$で分子と分母を割ることができます。

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\lim_{x \to -1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{(x - 2)(x + 2)}

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$x = -1$ を代入すると、

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\frac{(2(-1) + 1)(-1 - 1)}{(-1 - 2)(-1 + 2)} = \frac{(-2 + 1)(-2)}{(-3)(1)} = \frac{(-1)(-2)}{-3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}

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3. 最終的な答え

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-\frac{2}{3}

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