関数 $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x=0$ における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める問題です。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

関数 $x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2) = 0$ について、$x=0$ における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求める問題です。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$ のときの $y$ の値を求めます。

$x=0$ を与えられた式に代入すると、

$0^3 y^2 + \cos y - \log(2+0^2) = 0$

$\cos y - \log 2 = 0$

$\cos y = \log 2$

$y = \arccos(\log 2)$ となります。ここで、$0 \le y < 2\pi$ なので、$y = \arccos(\log 2)$ と $y = 2\pi - \arccos(\log 2)$ の2つの解が存在します。

$\arccos(\log 2)$ の値を$\alpha$とおくと、$y = \alpha, 2\pi - \alpha$ が得られます。

次に、与えられた式を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(x^3 y^2 + \cos y - \log(2+x^2)) = \frac{d}{dx}(0)$

$3x^2 y^2 + x^3 (2y \frac{dy}{dx}) - \sin y \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2x^3 y - \sin y) = -3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}}{2x^3 y - \sin y}$

ここで、$x=0$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求めます。

$x=0$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3(0)^2 y^2 + \frac{2(0)}{2+0^2}}{2(0)^3 y - \sin y} = \frac{0}{-\sin y} = 0$

よって、$x=0$ において、$\frac{dy}{dx} = 0$ となります。

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}}{2x^3 y - \sin y}$ をさらに $x$ で微分して、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{-3x^2 y^2 + \frac{2x}{2+x^2}}{2x^3 y - \sin y} \right)$

ここで、$x=0$ での$\frac{d^2y}{dx^2}$ の値を直接求めるため、$\frac{dy}{dx} = 0$であることを利用して、元の微分した式から計算します。

$3x^2 y^2 + 2x^3y \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

この式をさらに $x$ で微分します。

$6xy^2 + 3x^2 (2y) \frac{dy}{dx} + 6x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2(2+x^2) - 2x(2x)}{(2+x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 6x^2 y \frac{dy}{dx} + 6x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4+2x^2 - 4x^2}{(2+x^2)^2} = 0$

$6xy^2 + 12x^2 y \frac{dy}{dx} + 2x^3 (\frac{dy}{dx})^2 + 2x^3 y \frac{d^2y}{dx^2} - \cos y (\frac{dy}{dx})^2 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4-2x^2}{(2+x^2)^2} = 0$

ここで $x=0$ を代入すると、$\frac{dy}{dx}=0$ であることを用いて、

$0 + 0 + 0 + 0 - 0 - \sin y \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{4}{4} = 0$

$-\sin y \frac{d^2y}{dx^2} - 1 = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sin y}$

$y = \alpha = \arccos(\log 2)$ のとき、$\sin y = \sin(\arccos(\log 2)) = \sqrt{1 - (\log 2)^2}$

$y = 2\pi - \alpha = 2\pi - \arccos(\log 2)$ のとき、$\sin y = \sin(2\pi - \arccos(\log 2)) = -\sin(\arccos(\log 2)) = -\sqrt{1 - (\log 2)^2}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\log 2)^2}}$

または

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{\sqrt{1-(\log 2)^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = \pm \frac{1}{\sqrt{1-(\log 2)^2}}$