$x^3y^2 + \cos{y} - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求めよ。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$x^3y^2 + \cos{y} - \log(2+x^2) = 0$ について、$x = 0$ での $\frac{d^2y}{dx^2}$ の値をすべて求めよ。ただし、$0 \le y < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$を元の式に代入して、$y$の値を求める。

$0^3y^2 + \cos{y} - \log(2+0^2) = 0$

$\cos{y} - \log{2} = 0$

$\cos{y} = \log{2}$

$0 \le y < 2\pi$ の範囲で$\cos{y} = \log{2}$ を満たす$y$は2つ存在する。

$\log{2} \approx 0.6931$なので、$0 < \log{2} < 1$

$y_1 = \arccos{(\log{2})}$, $y_2 = 2\pi - \arccos{(\log{2})}$

次に、$x^3y^2 + \cos{y} - \log(2+x^2) = 0$ を$x$で微分する。

$3x^2y^2 + x^3(2y\frac{dy}{dx}) - \sin{y}\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{2+x^2} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2x^3y - \sin{y}) = \frac{2x}{2+x^2} - 3x^2y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x}{2+x^2} - 3x^2y^2}{2x^3y - \sin{y}}$

$x=0$のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{0}{-\sin{y}} = 0$

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2x}{2+x^2} - 3x^2y^2}{2x^3y - \sin{y}}$を$x$で微分する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(\frac{2(2+x^2) - 2x(2x)}{(2+x^2)^2} - 6xy^2 - 6x^2y\frac{dy}{dx})(2x^3y - \sin{y}) - (\frac{2x}{2+x^2} - 3x^2y^2)(6x^2y + 2x^3\frac{dy}{dx} - \cos{y}\frac{dy}{dx})}{(2x^3y - \sin{y})^2}$

$x=0$のとき、$\frac{dy}{dx} = 0$ より

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(\frac{4}{4} - 0)(-\sin{y}) - (0 - 0)(0 - 0 - 0)}{(\sin{y})^2} = \frac{-\sin{y}}{(\sin{y})^2} = -\frac{1}{\sin{y}}$

$\sin{y} = \sqrt{1-\cos^2{y}} = \sqrt{1 - (\log{2})^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\log{2})^2}}$

$y_1 = \arccos{(\log{2})}$のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\log{2})^2}}$

$y_2 = 2\pi - \arccos{(\log{2})}$のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{-\sqrt{1-(\log{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(\log{2})^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = \pm \frac{1}{\sqrt{1-(\log{2})^2}}$