与えられた整数 $n \ge 0$ に対して、$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$ とする。以下の問題を解く。 (1) $a_1$ を求める。 (2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表す。 (3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表す。 (4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた整数 $n \ge 0$ に対して、$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$ とする。以下の問題を解く。

(1) $a_1$ を求める。

(2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表す。

(3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表す。

(4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ を求める。

$a_1 = \int_0^1 (1-x^2) dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(2) $a_{n+2}$ を $a_n$ を用いて表す。

$a_{n+2} = \int_0^1 (1-x^2)^{n+2} dx = \int_0^1 (1-x^2)^{n+1} (1-x^2) dx = \int_0^1 (1-x^2)^{n+1} dx - \int_0^1 x^2 (1-x^2)^{n+1} dx$

部分積分を行う。$u = x$, $dv = x(1-x^2)^{n+1} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -\frac{1}{2(n+2)} (1-x^2)^{n+2}$

したがって、

$\int_0^1 x^2 (1-x^2)^{n+1} dx = \left[ -\frac{x}{2(n+2)} (1-x^2)^{n+2} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{2(n+2)} (1-x^2)^{n+2} dx = 0 + \frac{1}{2(n+2)} a_{n+2}$

$a_{n+2} = a_{n+1} - \frac{1}{2(n+2)} a_{n+2}$

$a_{n+2} + \frac{1}{2(n+2)} a_{n+2} = a_{n+1}$

$\frac{2n+5}{2n+4} a_{n+2} = a_{n+1}$

$a_{n+2} = \int_0^1 (1-x^2)^{n+2} dx$ の積分を部分積分で求める。

$u = (1-x^2)^{n+2}$, $dv = dx$

$du = (n+2)(1-x^2)^{n+1} (-2x) dx$, $v = x$

$\int_0^1 (1-x^2)^{n+2} dx = \left[ x(1-x^2)^{n+2} \right]_0^1 - \int_0^1 x (n+2) (1-x^2)^{n+1} (-2x) dx$

$a_{n+2} = 0 + 2(n+2) \int_0^1 x^2 (1-x^2)^{n+1} dx = 2(n+2) \int_0^1 \{1 - (1-x^2)\} (1-x^2)^{n+1} dx = 2(n+2) \int_0^1 (1-x^2)^{n+1} dx - 2(n+2) \int_0^1 (1-x^2)^{n+2} dx$

$a_{n+2} = 2(n+2) a_{n+1} - 2(n+2) a_{n+2}$

$(2n+5) a_{n+2} = 2(n+2) a_{n+1}$

$a_{n+2} = \frac{2n+4}{2n+5} a_{n+1}$

(3) $a_{n+1} a_n$ を $n$ を用いて表す。

$a_{n+1} = \frac{2n+3}{2n+4} a_n$ より、$a_{n+2} = \frac{2n+4}{2n+5} a_{n+1} = \frac{2(n+1)+2}{2(n+1)+3} a_{n+1}$.

$a_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$

$a_{n+1} = \int_0^1 (1-x^2)^{n+1} dx$

帰納法で示す。

$a_0 = 1$, $a_1 = 2/3$

$a_0 a_1 = 2/3 = \frac{1}{1} \frac{\pi}{2} \frac{1}{\binom{1}{1}}$

$a_{n+1} = \frac{2n+4}{2n+5} a_{n+1}$より、$a_{n+1} = \frac{2(n+1)}{2n+3}$　ではないかと推測できる。

ウォリス積を使う

$a_{n+1}a_n = \frac{\pi}{2} \frac{1}{n+1}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n$ を求める。

$a_{n+1}a_n = \frac{\pi}{2} \frac{1}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = \frac{2}{3}$

(2) $a_{n+2} = \frac{2n+4}{2n+5} a_{n+1}$

(3) $a_{n+1} a_n = \frac{\pi}{2(n+1)}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$