関数 $y = (x - 1)(x^2 + 1)(2x - 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x - 1)(x^2 + 1)(2x - 1)$ を微分して、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いる。

$u = x - 1$, $v = x^2 + 1$, $w = 2x - 1$ とおくと、$y = uvw$ である。

積の微分法則より、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$$

である。

まず、各項の微分を計算する。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 + 1)(2x - 1) + (x - 1) \cdot 2x \cdot (2x - 1) + (x - 1)(x^2 + 1) \cdot 2$$

これを展開して整理する。

$$\frac{dy}{dx} = (2x^3 - x^2 + 2x - 1) + (x - 1)(4x^2 - 2x) + 2(x^3 - x^2 + x - 1)$$

$$= (2x^3 - x^2 + 2x - 1) + (4x^3 - 2x^2 - 4x^2 + 2x) + (2x^3 - 2x^2 + 2x - 2)$$

$$= 2x^3 - x^2 + 2x - 1 + 4x^3 - 6x^2 + 2x + 2x^3 - 2x^2 + 2x - 2$$

$$= (2x^3 + 4x^3 + 2x^3) + (-x^2 - 6x^2 - 2x^2) + (2x + 2x + 2x) + (-1 - 2)$$

$$= 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 9x^2 + 6x - 3$