与えられた関数 $y = (x^3 + 1)(x + 1)(x^2 + x - 2)$ を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^3 + 1)(x + 1)(x^2 + x - 2)$ を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x - 2$を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

次に、$x^3 + 1$を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

したがって、$y$は次のように書き換えられます。

$y = (x + 1)(x^2 - x + 1)(x + 1)(x + 2)(x - 1)$

$y = (x + 1)^2 (x^2 - x + 1) (x + 2)(x - 1)$

さらに、$y$を展開します。

$y = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x - 2)$

$y = (x^4 + x^3 - x^2 + x + 1)(x + 2)(x-1)$

$y = (x^4 + x^3 + 1)(x+1)(x^2+x-2)=(x^4 + x^3 + 1)(x^3 + 2x^2 - x^2 -2x + x + 2)= (x^4 + x^3 + 1)(x^3 + x^2 - x - 2)$

$y = x^7 + x^6 - x^5 - 2x^4 + x^6 + x^5 - x^4 - 2x^3 + x^3 + x^2 - x - 2$

$y = x^7 + 2x^6 - 3x^4 - x^3 + x^2 - x - 2$

ここで、べき乗のルールを使用して微分します。

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx} = 7x^6 + 12x^5 - 12x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 7x^6 + 12x^5 - 12x^3 - 3x^2 + 2x - 1$