次の不定積分を計算します。 $\int x \sqrt[3]{1+x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int x \sqrt[3]{1+x} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1+x$ とおくと、$x = u-1$ となり、$dx = du$ となります。

したがって、

$\int x \sqrt[3]{1+x} dx = \int (u-1) \sqrt[3]{u} du = \int (u-1)u^{\frac{1}{3}} du = \int (u^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{1}{3}}) du$

となります。

次に、積分を計算します。

$\int (u^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{1}{3}}) du = \int u^{\frac{4}{3}} du - \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{u^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

最後に、$u = 1+x$ を代入して、積分変数を元に戻します。

$\frac{3}{7} (1+x)^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4} (1+x)^{\frac{4}{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \sqrt[3]{1+x} dx = \frac{3}{7}(1+x)^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4}(1+x)^{\frac{4}{3}} + C$