与えられた不定積分 $\int (2x^2 - 3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (2x^2 - 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分は、積分の線形性と、べき関数の積分公式を用いて計算します。

まず、積分を各項に分けます。

$\int (2x^2 - 3) dx = \int 2x^2 dx - \int 3 dx$

次に、定数倍の性質を使って、定数を積分の外に出します。

$\int 2x^2 dx - \int 3 dx = 2 \int x^2 dx - 3 \int 1 dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

ここで、$n = 2$ と $n = 0$ (定数項は$x^0$と見なせる) です。

$2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{2}{3}x^3 + C_1$

$- 3 \int 1 dx = -3 \int x^0 dx = -3 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_2 = -3x + C_2$

したがって、

$\int (2x^2 - 3) dx = \frac{2}{3}x^3 - 3x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^3 - 3x + C$