関数 $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の2次導関数 $f''(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ の2次導関数 $f''(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{ax}$, $v = \cos(bx)$ とすると、$u' = ae^{ax}$, $v' = -b\sin(bx)$ となります。

したがって、

$f'(x) = (e^{ax})'\cos(bx) + e^{ax}(\cos(bx))'$

$f'(x) = ae^{ax}\cos(bx) - be^{ax}\sin(bx)$

$f'(x) = e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))$

次に、$f'(x)$ の導関数である $f''(x)$ を求めます。再び積の微分公式を用います。

$u = e^{ax}$, $v = a\cos(bx) - b\sin(bx)$ とすると、$u' = ae^{ax}$, $v' = -ab\sin(bx) - b^2\cos(bx)$ となります。

したがって、

$f''(x) = (e^{ax})'(a\cos(bx) - b\sin(bx)) + e^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx))'$

$f''(x) = ae^{ax}(a\cos(bx) - b\sin(bx)) + e^{ax}(-ab\sin(bx) - b^2\cos(bx))$

$f''(x) = e^{ax}[a^2\cos(bx) - ab\sin(bx) - ab\sin(bx) - b^2\cos(bx)]$

$f''(x) = e^{ax}[(a^2 - b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx)]$

3. 最終的な答え

$f''(x) = e^{ax}((a^2 - b^2)\cos(bx) - 2ab\sin(bx))$