関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$ であり、$0 < x < \frac{\pi}{2}$です。この関数$f(x)$の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。ここで、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x}$

であり、$0 < x < \frac{\pi}{2}$です。この関数$f(x)$の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$0 < x < \frac{\pi}{2}$の範囲で$\tan x$の値を考えます。

- $0 < \tan x < 1$ のとき ($0 < x < \frac{\pi}{4}$)、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$ となります。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

- $\tan x = 1$ のとき ($x = \frac{\pi}{4}$)、$\tan^n x = 1$ となります。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{n+1}}{1 + 1^n} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

- $\tan x > 1$ のとき ($\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$)、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = \infty$ となります。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1}x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$

以上より、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}$

$f(x)$ の連続性を調べます。

- $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において、$f(x) = 0$ なので連続です。

- $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) = \tan x$ は連続です。

- $x = \frac{\pi}{4}$ における連続性を調べます。

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) = 0$

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} f(x) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-} f(x) \neq f(\frac{\pi}{4}) \neq \lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+} f(x)$

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ において不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$ は、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。