$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}}-1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{2}{n}}-1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = \frac{1}{n}$ と置換すると、$n \to \infty$ のとき、$x \to 0$ となる。

したがって、与えられた極限は、

$$$$

\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}

$$$$

と書き換えられる。

ここで、指数関数のテイラー展開を思い出すと、

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + ...$ である。

よって、$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ...$

となり、

$e^{2x} - 1 = 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + ...$

となる。

したがって、

$\frac{e^{2x}-1}{x} = 2 + 2x + \frac{4x^2}{3} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} (2 + 2x + \frac{4x^2}{3} + ...) = 2$

別の方法として、ロピタルの定理を用いることができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるので、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2e^0 = 2$

3. 最終的な答え

2